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In una semicirconferenza di diametro AB = 2r la corda AC forma con AB un angolo di 60°. Traccia il raggio OD perpendicolare ad AC e, dopo aver dimostrato che OBCD è un trapezio, calcolane la misura dell'area. Trova quindi anche l'area del triangolo ABD.

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In una semicirconferenza di diametro AB = 2r la corda AC forma con AB un angolo di 60°. Traccia il raggio OD perpendicolare ad AC e, dopo aver dimostrato che OBCD è un trapezio, calcolane la misura dell'area. Trova quindi anche l'area del triangolo ABD.

Messaggio Da Admin il Gio Dic 22, 2011 6:55 pm


Problema di geometria.


Domanda in questione:

mail n' die ha scritto:In una semicirconferenza di diametro AB = 2r la corda AC forma con AB un angolo di 60°. Traccia il raggio OD perpendicolare ad AC e, dopo aver dimostrato che OBCD è un trapezio, calcolane la misura dell'area. Trova quindi anche l'area del triangolo ABD.

Risposta:

Stellina47 (A.C.L.I.S.) ha scritto:Il triangolo ABC che si è formato è inscritto in una semicirconferenza. L'angolo in C^ è quindi ampio 90° (metà dell'angolo al centro corrispondente AO^B che misura 180°) ABC è allora un triangolo rettangolo con BC perpendicolare ad AC
Il quadrilatero OBCD presenta:
OD // BC perché entrambi i segmenti sono perpendicolari alla stessa retta AC
DC non parallelo a OB
quindi OBCD è un trapezio rettangolo con
BC = base maggiore
OD = base minore
OB = lato obliquo
DC = lato perpendicolare alle basi (altezza del trapezio)

Il triangolo ABC ha AB = 2r e CA^B = 60°. E' metà di un triangolo equilatero e risulta:
AC = r
BC = r√3
L'area di ABC è data da
AC*BC/2 = (r^2√3)/2
Anche il triangolo ADO è un triangolo rettangolo con angolo in A^ = 60° (metà triangolo equilatero) Risulta quindi:
AO = r
AD = r/2
OD = (r√3)/2
Area ADO = AD*OD/2 = (r^2√3)/8
Ottieni l'area del trapezio per differenza delle aree:
Area OBCD = area ACB - area ADO= (3r^2√3)/8

Traccia ora la perpendicolare DH ad AB
Anche il triangolo ADH è metà di un triangolo equilatero e risulta:
DH = (AD√3)/2 = (r√3)/4
Area ADB = AB*DH/2 = (r^2√3)/4


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